数学的帰納法 -正しく使えばものすごく便利


この6文字自体見たくない人もいるかと思うが,とにかく読んでいってほしい。

数学的帰納法というのは,次のようなものである。


nを自然数とする。命題 P(n) が,

 ① n=1 のとき成り立つ。

 ② n=k のとき成り立つと仮定すれば,n=k+1 のとき成り立つ。

①②が真であると証明できれば,P(n) はすべての自然数について成り立つ。


どうも堅っ苦しい。つまりは,ある問題を証明するために,

 ① 1を代入して正しいことを導く。

 ② kを代入した結果から,k+1を代入したとき正しいことを導く。

   例えば,k=1 のとき正しいから,k=2 のとき正しい。

   k=2 のとき正しいから,k=3 のとき正しい...と考える。

①②から正しい。

と考える方法である。



実践は大事だ。とにかくやってみよう。

n1 以上の整数とする。次の等式 P(n) を数学的帰納法により証明せよ。

P(n) : 2+4+6+ … +2n = n(n+1)

[解]① n=1 のとき

    (左辺)=2  (右辺)=1×2=2

    よって 成り立つ。

    n=k のとき,P(n) が成り立つと仮定すると

    P(k) : 2+4+6+ … +2k = k(k+1)

    n=k+1 のとき,上のP(k)を用いて変形すると

    P(k+1) : 2+4+6+ … +2k+2(k+1) = k(k+1)+2(k+1)

                    =(k+1)(k+2)

                    =(k+1){(k+1)+1}

    よって 成り立つ。

   ①②より 題意は示された。


この証明法の弱点として,n のとりうる値の最小単位がないと使えないというものがある。

例えば,自然数は 1, 2, 3, … と増えるから,最小単位は 1 である。

整数でも同様に考えられる。

しかし,実数には最小単位がない。1 の次の数を 2 というわけにはいかないからだ。

最小単位がないと,k+1 のように,次の数について考えられないから,

証明が破綻する。


もう一つの弱点として,n に最小値か最大値がないと使えないというものがある。

自然数の最小値は 1 である(大学以上では 0 を最小とすることもある)。

だが,整数には最小値も最大値も存在しない。正にも負にも無限に広がっている。

最小値も最大値も存在しないと,証明の起点が存在しないことになるから,

やはり破綻する。


数学的帰納法に関して,次のようなジョークがある。

命題:すべての人はハゲである。

[解]n 0 以上の整数とし,P(n) を次のように定める。

   P(n) : 髪の毛が n 本の人はハゲである。

    n=0 のとき 髪の毛が 0 本の人はハゲであるから 成り立つ。

   ② n=k のとき P(n) が成り立つと仮定する。

     n=k+1 のとき,ハゲの人に髪の毛が 1 本くらい増えても変わらないから 成り立つ。

  ①②より n がどんな値でもP(n) は成り立つから 題意は示された。

わけがわからない。


うまくごまかされていないだろうか?

変な結果になったのは,何をもってハゲとするかの,明確な定義が決まっていないからである。

定義がしっかりしていなければ,数学的には認められない。


今回紹介したことを意識して,次の問題を解いてみよう。

次の命題 P の真偽を,数学的帰納法によって調べよ。

P : n 1 以上の整数とする。1+2+3+ … +n は等し


〈答えは下へ。〉


















[解]① n=1 のとき (左辺) = 1,(右辺) = 1² = 1

    よって 成り立つ。

    n=k のとき,命題 P が成り立つと仮定すると

    1+2+3+ … +k =   …A

    n=k+1 のとき,Aを用いて変形すると

    1+2+3+ … +k+(k+1) = k²+(k+1)

    (右辺)(k+1)² であるから 成り立たない。

  ①②より 命題 P は偽である。


どうだっただろうか。


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